دانلود پایان نامه
قسمت دیگر که با مشخص شده است نیاز به کمی توجه دارد. محاسبات ساده نشان می دهند که تحت فرض صفر وایت نویز، منفرد خواهد شد اگر مقادیر p و q هر دو بزرگتر از صفر باشند. در این صورت آزمون کلی برای GARCH(p,q) امکان پذیر نخواهد بود. در حقیقت اگر فرض صفر، یک مدل ARCH(q) باشد در این صورت برای مدل GARCH(r1,q+r2) منفرد خواهد شد اگر مقادیر r1 و r2 هر دو بزرگتر از صفر باشند. ذکر این نکته جالب توجه می باشد که برای یک فرآیند ARCH(q) در فرض صفر، نتایج آزمون ضریب لاگرانژ (LM) برای GARCH(r,q) و ARCH(q+r) منطبق با یکدیگر می باشند. این نتیجه شبیه نتایج بدست آمده از تحقیق گادفری (1978) می باشد که در آن نشان داده شده است که آزمون های LM برای خطاهای AR(p) و MA(q) در یک مدل رگرسیونی خطی منطبق با یکدیگر می باشند و اینکه رویه های آزمون در مورد یک فرآیند کامل ARMA(p,q) تغییر می کنند. این نتایج فقط مختص آزمون LM نیست بلکه آزمون های نسبت درستنمایی و والد را نیز شامل می شوند. ( فرانسیس و دیجک، 1996، 307-327)
2-4-4. تخمین حداکثر درستنمایی در مدلهای گارچ
با فرض اینکه مقادیر از یک توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس ثابت استخراج شده باشند بر اساس تئوری توزیع استاندارد، درستنمایی هر یک از مقادیر عبارت خواهد بود از:
(2-17)
که درستنمایی می باشد.
از آنجائیکه مقادیر مستقل از یکدیگر می باشند، درستنمایی مقادیر ، برابر با حاصل ضرب هر یک از درستنمایی ها به تنهایی خواهد بود. بنابراین اگر واریانس تمامی مقادیر یکسان باشد، درستنمایی آنها عبارت خواهد بود از:

مطلب مرتبط :   ارزش اقتصادی، علف های هرز

که می توان آن را به صورت زیر نوشت:
(2-18)
نحوه تخمین حداکثر درستنمایی، انتخاب پارامترهای توزیعی به گونه ای می باشد که درستنمایی نمونه مشاهده شده انتخابی را حداکثر سازند. فرض می کنیم که دنباله ، یک فرآیند MA(1) باشد که از طریق مدل زیر ایجاد شده است:
(2-19)
در مدل رگرسیون کلاسیک میانگین صفر و واریانس آن مقدار ثابت می باشد و مقادیر مختلف مستقل از یکدیگر فرض می شوند. با استفاده از یک نمونه با T مشاهده می توان رابطه (2-19) را در تابع لگاریتمی درستنمایی رابطه (2-18) جایگذاری کرد:
(2-20)
به منظور حداکثر ساختن تابع فوق بر حسب و داریم:

با حل توابع فوق و بدست آوردن مقادیر و و اینکه حداکثر مقدار بدست آمده برای lnL از تخمین مقادیر واریانس و با استفاده از روش حداقل مربعات معمولی حاصل می گردد. خواهیم داشت:
(2-21)
(2-22)
متاسفانه به دلیل غیرخطی بودن معادلات مرتبه اول فوق، امکان استفاده از آنها در تخمین مدلهای آرچ و گارچ وجود ندارد. ساده ترین روش برای این کار معرفی یک فرآیند خطای ARCH(1) به مدل رگرسیونی رابطه (2-19) می باشد. فرض می کنیم که جزء اخلال رابطه خطی می باشد به صورت زیر تعریف شده باشد:

اگرچه واریانس شرطی ثابت نمی باشد اما ضرورت تعدیل رابطه (2-36) روشن است. از آنجائیکه هر یک از مقادیر از واریانس شرطی برخوردار می باشند لذا درستنمایی مقادیر تا به صورت زیر می باشد:

نتیجتا، تابع لگاریتمی درستنمایی به شکل زیر خواهد بود: