دانلود پایان نامه

ایده شبیه سازی مونت کارلو بر مبنای شبیه سازی مکرر فرآیند تصادفی حاکم بر قیمت و یا بازده ابزار مالی موردنظر بوده است. ( معارفیان، 1389، ص65-66)
2-5-6. روش های شبیه سازی مونت کارلو
روش مونت کارلو از اعداد تصادفی برای شبیه سازی پدیده ها استفاده می نماید. اعداد تصادفی اغلب بر اساس الگوریتم های خاصی تولید می شوند. البته آنچه که امروزه به عنوان اعداد تصادفی مصطلح بوده، اعداد شبه تصادفی بوده است که توسط الگوریتم های ریاضی خاصی توسط رایانه ها تولید می شوند. همه الگوریتم های موجود در این مورد نیز دقیق و مناسب نبوده اند. برای مثال یک الگوریتم ممکن است در بیشتر موارد اعداد بزرگ تولید کند یا نوعی همبستگی در دنباله اعدادش مشاهده شود. مثلا ممکن است هر پنجمین عددش بزرگ باشد.
برای تشخیص کیفیت تصادفی بودن اعداد تولید شده توسط یک الگوریتم، می توان زوج های تصادفی از این اعداد را در دستگاه محور مختصات دکارتی رسم نمود. اگر تجمع در یک قسمت از صفحه مختصات بیشتر باشد نشان دهنده کیفیت پایین این اعداد بوده است. اگر اعداد تولید شده تقریبا همان خواص اعداد تصادفی را دارا باشند در عمل عنوان تصادفی به آنها اطلاق می شود.
تنها یک روش مونت کارلو وجود نداشته است، بلکه این واژه به گستره وسیعی از روش هایی اطلاق می گردد که از الگوی مشخصی همانند الگوی ذیل تبعیت می نمایند:
محدوده ای از ورودی های ممکن را تعریف نمایند.
از محدوده موردنظر ورودی های تصادفی تولید نمایند.
با استفاده از ورودی های بدست آمده یک سری محاسبات مشخص را انجام می دهند.
نتایج هر یک از اجراهای محاسباتی را در پاسخ نهایی ادغام می نمایند.
روش شبیه سازی مونت کارلو را تقریبا می توان برای حل مسائلی با هر درجه ای از پیچیدگی مورد استفاده قرار داد. همچنین به راحتی می توان عواملی همانند وابستگی مسیر، دنباله های ضخیم، غیرخطی بودن و غیره را که دیگر رویکردهای موجود در مواجهه با آنها با مشکل مواجه بوده اند را نیز به راحتی با شبیه سازی مونت کارلو اداره نمود. رویکردهای شبیه سازی در عمل برای حل مسائل چند بعدی نیز مفید بوده اند. این مسائل شامل موقعیت هایی بوده که نتایج آنها به بیش از یک عامل ریسک بستگی داشته اند.
روش های شبیه سازی مونت کارلو تنها می توانند جواب هایی تقریبی در مورد مسائل گوناگون ارائه نمایند. بنابراین همواره مقداری خطا در جواب های حاصله از انها وجود دارد. تلاش در جهت حداقل نمودن میزان خطای پیش گفته موجب بوجود آمدن روش های شبیه سازی مونت کارلوی متنوعی شده است بنابراین بسته به روش های متفاوت مونت کارلو میزان خطا و دقت جواب آنها نیز متفاوت بوده است. ماهیت و نوع مسئله و میزان دقت مورد نیاز عوامل کلیدی جهت انتخاب روش شبیه سازی مونت کارلوی موردنظر بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص 66-68)
2-5-7. کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو
مسائلی که با استفاده از روش های متنوع شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند را می توان به دو گروه کلی مسائل قطعی و مسائل احتمالی تقسیم بندی نمود که رویه ها و فرآیندهای مربوط به هر دو گروه بطور مستقیم با فرآیندهای تصادفی در ارتباط بوده اند. در این گونه از مسائل یکی از ساده ترین راه حل ها، استفاده از رویه های مربوط به شبیه سازی مونت کارلو بوده که در آنها در گام اول اعداد تصادفی موجود را مشاهده نموده و سپس در گام بعد به دنبال روشی جهت شبیه سازی مستقیم فرآیندهای تصادفی مربوط به مسئله اولیه بوده ایم و در ادامه راه حلی منطقی و مطلوب از شبیه سازی اعداد تصادفی استنتاج می نماییم.
مطالعه در مورد میزان رشد جمعیت حشرات با در نظر گرفتن فرضیات آماری مشخص در مورد زنده ماندن آنها و مطالعات مربوط به طراحی راکتورهای هسته ای نمونه هایی از مسائل احتمالی بوده که با استفاده از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند. این مسائل و مسائلی مانند آنها، مسائلی بوده اند که تا قبل از پیدایش روش های مونت کارلو روش های قابل قبولی جهت حل آنها وجود نداشته است، اما با پیدایش و استفاده از روش های شبیه سازی مونت کارلو این گونه مسائل نیز قابل حل گشته اند.
از سوی دیگر یکی از مهمترین نقاط قوت ریاضیات تئوری، که در آن به دنبال نتیجه گیری و کشف ارتباطات از طریق قیاس های منطقی بوده ایم در مقابل ریاضیات کاربردی و عملی که در آن نتیجه گیری و کشف روابط از طریق مشاهدات متنوع و گسترده حاصل می شود، جامعیت آن بوده است بدین معنی که مسائل مربوط به این شاخه از ریاضیات را می توان با استفاده از علائم و روابط کلی مطرح و حل نمود. البته مزیت پیش گفته ممکن است این عیب را نیز به همراه داشته باشد که رابطه نهایی تولید شده در مورد این مسائل ممکن است آن چنان پیچیده و مشکل شده باشد که دیگر قابل حل حتی از طریق روش های عددی نیز نباشند.
ایده اصلی مربوط به مسائل قطعی که با استفاده از روش های شبیه سازی مونت کارلو قابل حل بوده اند نیز مربوط به این گروه از مسائل ریاضی و جهت رفع عیب گفته شده در خصوص این مسائل بوده است. روش های شبیه سازی مونت کارلو با استفاده از فرآیندهای تصادفی سعی می نمایند جواب هایی قابل قبول برای مسائل قطعی که در ریاضیات تئوری قابل مشاهده بوده است ارائه نمایند و به این ترتیب راه حلی عددی برای این گونه مسائل عرضه نمایند. برای مثال مسئله ای در تئوری الکترومغناطیسی که نیازمند حل با استفاده از رابطه لاپلاس و با شرایط مرزی مشخصی بوده است نمونه ای از گونه مسائل پیش گفته بوده است که می توان آن را با استفاده از روش شبیه سازی مونت کارلو حل نمود.
کاربردهای شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما در حالت کلی می توان تمامی آنها را در قالب دو گروه مسائل ریاضی ذیل مطرح نمود:
مسائلی که نیازمند حل مشتقات جزئی بوده است.
مسائلی که نیازمند حل انتگرال بوده است.
گرچه گستره کاربرد روش های شبیه سازی مونت کارلو بسیار متنوع بوده است، اما با این وجود دو گروه مسائل مطرح شده فوق عمده ترین مسائلی بوده اند که با استفاده از شبیه سازی مونت کارلو می توانیم آنها را حل نمائیم.
بر اساس قانون قوی اعداد بزرگ که در سال 1971 میلادی توسط فلر مطرح شده است، اگر مقدار N یعنی تعداد اعداد تصادفی انتخاب شده یا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش شبیه سازی مونت کارلو به سمت بی نهایت میل نماید میزان خطای این روش نیز به سمت صفر میل نموده و در این حالت مقدار دقت جواب حاصله از این روش حداکثر بوده است.
دقت روش های شبیه سازی مونت کارلو به صورت نسبتی از مطرح بوده است که در آن مقدار N بیانگر تعداد نقاط تصادفی بوده است. این رابطه نشان می دهد که جهت دستیابی به دقت مورد نیاز بایستی تعداد نقاط تصادفی و به بیانی دیگر تعداد تکرارهای مربوط به شبیه سازی را افزایش داد و هر چقدر این مقادیر را افزایش داد دقت جواب مسئله نیز بیشتر و خطای مربوط به آن کمتر خواهد شد. روش های متعددی مطرح شده اند تا تعداد تکرارهای شبیه سازی در روش های مونت کالو را کاهش داده و در عین حال دقت مورد نیاز را نیز بدست آورند که دو نمونه از روش های مطرح در این خصوص استفاده از روش های کاهش واریانس و استفاده از دنباله های کم پراکنده بوده است. ( معارفیان، 1389 ،ص71-73)
2-5-8. مزایا و معایب شبیه سازی مونت کالو
شبیه سازی مونت کالو دارای مزایایی به شرح ذیل بوده است: