دانلود مقاله تحقیق پایان نامه

دانلود پایان نامه فرایند پواسون، بازارهای مالی

[do_widget id=kl-erq-2]

یکی از خاصیت های مهم حرکت براونی، پیوستگی مسیرهای نمونه ای آن است. یا به عبارت دیگر یک مسیر نمونه ای ، یک تابع پیوسته از زمان است. حال یک دوره ی زمانی کوچکتر از دو نمودار در شکل(3-1) را در نظر بگیریم. شکل(3-2) این فرم را برای یک دوره ی 3 ماهه نشان می دهد.
شکل (3-2)- قیمت لگاریتمی سهام شرکت ، از بورس بین ژانویه ی تا مارس 1993 و مقایسه ی آن با یک مسیر نمونه ای از حرکت براونی با تلاطم و بازدهی یکسان.[24]
با استفاده از خاصیت پیوستگی مسیرهای نمونه ای حرکت براونی، می توان قیمت سهام و مسیر نمونه ای حرکت براونی را در شکل (3-2) تشخیص داد. در واقع قیمت سهام دارای چندین پرش ناگهانی است. در بررسی رفتار قیمت سهام، تحلیل گران در بیشتر مواقع بازه ی زمانی را روزانه یا به صورت هفتگی در نظر می گیرند. پس می توان گفت که مدل قیمت سهام از یک الگوی حرکت براونی تبعیت نمی کند. البته در مدل بلک- شولز نوسانات آنی می توانند بر روی قیمت سهام موثر باشند که می توان این نوسانات را به وسیله ی یک تابع تلاطم موضعی به دست آورد. مطالعات تجربی نشان داده اند که ضریب شدت تغییرات تصادفی (تلاطم()) ثابت نیست. بر این اساس، عده ای از محققین مدل های آنالیز تصادفی را برای بررسی تغییرات این کمیت پیشنهاد کرده اند که در آن ها به جای در مدل بلک- شولز یک فرایند تصادفی قرار می گیرد.
در واقع مدل زیر توسط دوپایر[33]، درمان و کانی[30] برای قیمت سهام پیشنهاد شده است:
همان طور که گفته شد، می توان (تلاطم ضمنی) را با فرایندهای تصادفی گوناگون جایگزین کرد. برای جزئیات بیشتر به فصل 15 [24] مراجعه شود.
مدل های تجربی نشان می دهند که قیمت سهام یا بازدهی آن ها دارای پرش و ناپیوسته هستند و همچنین مشاهده رفتار آماری قیمت های سهام به صورت توزیع های دارای دم های سنگین است. لذا پیشنهاد شد که حرکت براونی با یک فرایند لوی کلی تر جایگزین شود. در واقع ژمن، مدان و یور [19] این مطلب را چنین توجیه کرده اند که این جایگزینی طبیعی است از این جهت که، با توجه به تجزیه ی لوی-ایتو، جمله ی ، متناظر با «پرش های کوچک»، توصیف کننده ی تغییرات و تلاطم های کوچک روزانه در قیمت سهام است، در حالی که جمله یمتناظر با «پرش های بزرگ» ، الگویی برای آثار حوادث شدید اجتماعی، سیاسی و اقتصادی بر بازارهای مالی است. با کنار گذاردن حرکت براونی، گستره ی وسیعی از فرایندهای لوی وجود دارند که از بین آن ها می توان مدلی را انتخاب کرد. این انتخاب باید مناسب و به صورتی انجام گیرد که ما را قادر به استخراج فرمول هایی کند که تحلیل گران بازارهای مالی بتوانند آن ها را برای محاسبه ی قیمت سهام به کار برند.
3-3-1 مدل های لوی نمایی همان طور که در بخش 3-2 بیان شد، در مدل بلک-شولز، فرایند قیمت سهام به صورت زیر است:
که می تواند به صورت معادل زیر نوشته شود:
در قسمت قبل مشاهده شد، مطالعات تجربی، مدل قیمت سهام از یک حرکت براونی تبعیت نمی کند. بنابراین می توان به جای حرکت براونی از یک فرایند لوی استفاده کرد. پس به جای معادله ی (7) می توان از معادله ی دیفرانسیل تصادفی زیر استفاده کرد:

یا این که از نمای معمولی

استفاده کرد. نماد برای معادله ی دیفرانسیل تصادفی و نماد برای نمای معمولی به کار گرفته شده اند. علت انجام این عمل، این است که بر خلاف حرکت براونی با هم تفاوت دارند. حال اگر فرایندهای (8) و (9)، با فرایند تنزیل داده شوند (یا به طور معادل ) داریم:
با استفاده از دیفرانسیل تصادفی ایتو (پیوست الف-3)، جواب معادله ی (10) با شرط اولیه ی ، به صورت زیر به دست می آید (قضیه ی 8.21 [24]):
معادله ی بالا نمای تصادفی نامیده می شود. با اعمال شرط جواب معادله ی بالا مثبت می شود (زیرا قیمت سهام نمی تواند منفی باشد) بنابراین با اعمال این شرط معادلات (10) و (11) معادل هستند (فصل 8 [24]).
برای ارزش گذاری اختیارمعاملات تحت مدل های لوی نمایی، بایستی اصل «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی » را رعایت کرد. پس در این قسمت به دنبال پیدا کردن اندازه ی ریسک-خنثی می باشیم به طوری که امید تنزیل یافته ی تابع جبرانیه، تحت این اندازه، مارتینگل شود.
3-3-2 تعریف(بازار کامل): یک بازار «کامل» نامیده می شود، هرگاه هر مشتق مالی بتواند با معامله روی دارایی بنیادین(پایه) مربوط به مشتق مالی و سپرده گذاری در بازار پول، بدون این که تا زمان سررسید قرارداد نیازی به تزریق سرمایه از بیرون باشد، جبران شود.[8و24]
در یک بازار کامل هر مشتق مالی دارای ارزش منحصربه فردی است که وجود آربیتراژ را نفی می کند.(قضیه 3-2-6)
3-3-3 قضیه(دومین قضیه ی اساسی ارزش گذاری دارایی): یک بازار بدون آربیتراژ کامل است، اگر وتنها اگر، یک اندازه ی احتمال منحصر به فرد ، معادل با (اندازه احتمال اصلی بازار) وجود داشته باشد به طوری که فرایند ارزش تنزیل یافته ی دارایی نسبت به آن مارتینگل باشد.[8و24] و(پیوست الف)
3-3-4 تعریف(بازار ناکامل): اگر وجود داشته باشد، اما منحصر به فرد نباشد، بازار «ناکامل» نامیده می شود.[8و24]
برای ارزش گذاری مشتقات مالی (اختیارمعاملات) نیاز به اندازه ی مارتینگل داریم. وقتی که بازار کامل باشد، این اندازه منحصر به فرد و برای هر مشتق مالی یک ارزش منحصربه فرد به دست می آید. این اندازه ی مارتینگل، برای دو فرایند پواسون و براونی منحصر به فرد است، یعنی بازار در این دو حالت کامل است.[8]. اما در سایر فرایندهای لوی ثابت می شود (فصل 8 [24]) بازار ناکامل است، بنابراین این اندازه منحصر به فرد نیست. پس هر سرمایه گذار می تواند بر اساس معیارهای خود، این اندازه را پیدا کند و ارزش مشتق مالی را بر اساس آن به دست آورد. یعنی هر سرمایه گذار بسته به معیار خود حاضر است بهایی را برای یک مشتق مالی خاص بپردازد، که می تواند با ارزش مورد انتخاب سرمایه گذاران دیگر متفاوت باشد. در ادامه چند روش متفاوت را برای به دست آوردن این اندازه بیان می کنیم، که برای جزئیات بیشتر می توان به(فصول 9و10 [24]) و (پیوست الف -3) مراجعه کرد:
1) اندازه ی مینیمال فولمر-اسشویزر [24]

]]>